خواص مجموعه ی متمم عمود

مجموعه‌ی متمم عمود \( M^\perp \) در فضای ضرب داخلی (مثل فضای هیلبرت) کلی خاصیت قشنگ و مهم داره.  و :

—

**۱. زیر فضای بسته:**
اگر \( M \subseteq H \)، آنگاه
**\( M^\perp \) یک زیر فضای بسته از \( H \) است.**

—

**۲. دوگانگی دوبار متمم عمود:**
**\( (M^\perp)^\perp = \overline{\text{span}(M)} \)**
یعنی دوبار متمم عمود گرفتن برابر است با پوشش بسته‌ی ترکیب‌های خطی از \( M \).
(اگه \( M \) خودش بسته و خطی باشه، اون وقت \( (M^\perp)^\perp = M \))

—

**۳. اشتراک با خودش صفره:**
**\( M \cap M^\perp = \{0\} \)**
یعنی هیچ برداری غیر از صفر وجود نداره که هم در \( M \) باشه و هم بر همه‌ی عناصرش عمود باشه.

—

**۴. تجزیه فضا (در صورت بسته بودن \( M \)):**
اگه \( M \) یه زیر فضای بسته باشه، آنگاه:
**\( H = M \oplus M^\perp \)**
یعنی هر بردار در \( H \) رو می‌تونیم به‌صورت یکتایی به جمع یه بردار از \( M \) و یه بردار از \( M^\perp \) بنویسیم. (مجموع مستقیم عمود)

—

**۵. کرنل و برد تصویر متقابل در عملگرها:**
در فضای هیلبرت، برای یه عملگر خطی پیوسته \( T \)، داریم:
**\( (\text{Im } T)^⟂ = \ker(T^*) \)**
و این رابطه بین متمم عمود تصویر و هسته‌ی عملگر مزدوج خیلی کاربردی و زیبائه.