پیوستگی یکنواخت به زبان ساده

پرده‌ی اول: تابع با ضابطه‌ی \( f(x) = x^2 \) 😊
من یک تابع پیوسته روی مجموعه‌ی اعداد حقیقی هستم. یعنی به ازای هر عدد حقیقی \( a \) و هر عدد مثبت دلخواهی مانند \( \epsilon \) که معرفی کنی، می‌توانم یک همسایگی حول \( a \) پیدا کنم به‌گونه‌ای که برای هر \( x \) درون آن همسایگی، مقدار \( |f(x) – f(a)| \) از \( \epsilon \) کوچکتر باشد. این یعنی من در تمام نقاط پیوسته‌ام.

پرده‌ی دوم: تابع با ضابطه‌ی \( g(x) = \frac{1}{1+x^2} \) ☺️
من یک تابع پیوسته و یکنواخت روی مجموعه‌ی اعداد حقیقی هستم. هر \( \epsilon \) مثبت دلخواهی که به من بدهی، می‌توانم عددی مثبت مانند \( \delta \) به تو معرفی کنم که اگر فاصله‌ی بین دو نقطه‌ی دلخواه در دامنه‌ام کمتر از \( \delta \) باشد، خیالت راحت باشد که فاصله‌ی مقادیرم در آن دو نقطه از \( \epsilon \) کوچکتر است. واضح است که اگر عددی حقیقی مانند \( a \) به من معرفی کنی من در \( a \) پیوسته هستم.

پرده‌ی سوم: تابع \( x^2 \) 😔
متأسفانه من نمی‌توانم خاصیت پیوستگی یکنواخت را داشته باشم. به این دلیل که برای هر \( \epsilon \) مثبتی که به من معرفی کنی، نمی‌توانم عددی مانند \( \delta \) پیدا کنم که برای هر دو نقطه‌ی دلخواه با فاصله‌ی کمتر از \( \delta \)، فاصله‌ی مقادیرم نیز کمتر از \( \epsilon \) باشد. دلیلش این است که رشد من در اعداد مثبتِ خیلی بزرگ یا اعداد منفیِ خیلی کوچک، آن‌قدر زیاد است که حتی نقاط با فاصله‌ی خیلی کم هم اختلاف مقادیرشان بسیار بزرگ می‌شود. خیلی بزرگتر از اپسیلونی که تو در ذهن داری!

نویسنده: دکتر حسین زارع