مشتق دوم تابع پارامتری

در تابع پارامتری زیر، ​\( ‎\frac{d‎^{2}y‎}{dx‎^{2}‎} \)​ را بیابید.

​\(  x = t^{2}+1 \\ y = t^{3}-1  \)

حل: برای حل آن چهار مرحله را باید طی کرد. مرحله اول باید از x نسبت به t و از y نسبت به t مشتق بگیریم.

\[
\begin{cases}\frac{dx}{dt} = 2t \\\frac{dy}{dt} = 3t^{2}\end{cases}\]

سپس در مرحله دوم باید این دو رابطه را در رابطه اصلی جایگذاری کرد

\[ y’ =\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx }{dt}}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3t}{2} \]

حال که \(y’\) پیدا شد، آنرا با x در یک دستگاه می نویسیم

\[ \{ \begin{array} {cc} x = t^{2}+1 \\ y’ = \frac{3t}{2} \end{array} \]

اکنون مشتق هر کدام از اینها را بر حسب t  محاسبه می کنیم.

\[ \{ \begin{array} {cc} \frac{dx}{dt} = 2t \\ \frac{d y’}{dt} = \frac{3}{2} \end{array} \]

حال کسر \( \frac{d y’}{dx} \)را محاسبه می کنیم و جواب نهایی بدست می آید.

\[ \frac{d y’}{dx} =\frac{\frac{d y’}{dt}}{\frac{dx }{dt}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{2t}{1}}=\frac{3}{4t} \]

____________________________________

پاورقی: توجه داشته باشید که این رابطه ​\( \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d‎^{2}y‎}{dx‎^{2}‎} \)​ همیشه برقرار است.