دو خاصیت مهم قدر مطلق که بسیار کاربردی است؛
\[ \vert a\vert -\vert b\vert \leq \vert a+b\vert\leq \vert a\vert +\vert b\vert \]
\[ \vert a\vert -\vert b\vert \leq \vert a-b\vert\leq \vert a\vert +\vert b\vert \]
هر دو نابرابری را می‌توان به طور مستقیم با استفاده از نامساوی مثلثی و خواص قدر مطلق اثبات کرد. ابتدا به اثبات هر نابرابری به ترتیب می‌پردازیم:
1. اثبات نامساوی اول:
\[
|a| – |b| \leq |a + b| \leq |a| + |b|
\]
اثبات بخش دوم: \( |a + b| \leq |a| + |b| \)
این قسمت به نامساوی مثلثی معروف است. طبق نابرابری مثلثی، برای هر دو عدد \( a \) و \( b \):
\[
|a + b| \leq |a| + |b|
\]
این نابرابری به طور مستقیم از خواص قدر مطلق و مفهوم فاصله در فضای برداری ناشی می‌شود. برای هر دو عدد حقیقی یا حتی بردار، فاصله بین \( a \) و \( b \) نمی‌تواند بیشتر از مجموع فاصله‌های جداگانه آن‌ها باشد.
اثبات بخش اول: \( |a| – |b| \leq |a + b| \)
برای اثبات این قسمت، باید نشان دهیم که تفاوت بین قدر مطلق \( a \) و \( b \) کوچکتر یا مساوی قدر مطلق مجموع آن‌ها است. میتوانیم از نابرابری مثلثی استفاده کنیم.
با استفاده از نابرابری مثلثی برای \( a = (a + b) – b \) داریم:
\[
|a| = |(a + b) – b| \leq |a + b| + |b|
\]
حال، اگر \( |b| \) را از دو طرف کم کنیم، به دست می‌آوریم:
\[
|a| – |b| \leq |a + b|
\]
این دقیقاً همان چیزی است که می‌خواستیم نشان دهیم.
2. اثبات نامساوی دوم:
\[
|a| – |b| \leq |a – b| \leq |a| + |b|
\]
اثبات بخش دوم: \( |a – b| \leq |a| + |b| \)
اگر در نامساوی مثلثی، بجای \( b \)، قرار دهیم \( – b \) داریم
\[
|a – b| \leq |a| + |b|
\]
زیرا طبق خواص قدر مطلق؛ \( |b| = |-b| \).
این نابرابری نشان می‌دهد که قدر مطلق تفاضل دو عدد همیشه کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق‌های آن‌ها است.
اثبات بخش اول: \( |a| – |b| \leq |a – b| \)
برای اثبات این قسمت، میتوانیم مشابه اثبات بخش اول نامساوی اول عمل کنیم؛
به این صورت؛
با استفاده از نامساوی مثلثی برای \( a = (a – b) + b \) داریم:
\[
|a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b|
\]
حال، اگر \( |b| \) را از دو طرف کم کنیم، به دست می‌آوریم:
\[
|a| – |b| \leq |a – b|
\]
نتیجه:
این دو نابرابری در واقع حالت‌های خاصی از نامساوی مثلثی هستند که برای جمع و تفاضل اعداد واقعی یا حتی بردارها به کار می‌روند.
