فضای ال تو

فضای \( l^2 \) به زبان ساده فضایی است که شامل تمام دنباله‌هایی از اعداد حقیقی (یا مختلط) است که مجموع مربعات آن‌ها متناهی باشد. این فضا را می‌توان به این شکل توصیف کرد:

فرض کنید یک دنباله ​\( (x_1, x_2, x_3, \ldots) \)​ از اعداد حقیقی یا مختلط داریم. این دنباله عضو فضای \( l^2 \) است اگر و تنها اگر:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2 < \infty \]

یعنی مجموع مربعات تمام عناصر این دنباله باید متناهی باشد.

نرم (یا اندازه) یک دنباله \((x_1, x_2, x_3, \ldots)\) در فضای \( l^2 \) به صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ \| (x_1, x_2, x_3, \ldots) \| = \left( \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2 \right)^{1/2} \]

این نرم به ما می‌گوید که چگونه می‌توانیم اندازه یک دنباله را در فضای \( l^2 \) محاسبه کنیم.

فضای \( l^2 \) با این نرم و ضرب داخلی استاندارد (یعنی \( \langle (x_1, x_2, x_3, \ldots), (y_1, y_2, y_3, \ldots) \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i \overline{y_i} \)) یک فضای هیلبرت است، زیرا کامل است و تمامی ویژگی‌های مورد نیاز برای یک فضای هیلبرت را دارا می‌باشد.